Основні поняття та структура
Таблиця інтегралів — це систематизований збірник формул, що дозволяє швидко знаходити первісні функції. Інтегральне числення є однією з найважливіших галузей математичного аналізу, яка застосовується в фізиці, економіці та інженерії.
Класифікація формул
Таблиця включає наступні категорії:
- Базові степеневі інтеграли
- Тригонометричні функції
- Експоненціальні та логарифмічні вирази
- Раціональні дроби
- Ірраціональні функції
Основні методи інтегрування
- Метод підстановки — заміна змінної для спрощення
- Інтегрування частинами — розкладання добутку функцій
- Розкладання на прості дроби — для раціональних функцій
- Метод невизначених коефіцієнтів — побудова первісної
Практичне застосування
Знання таблиці інтегралів скорочує час розв’язання задач на:
- Обчислення площ криволінійних фігур
- Знаходження об’ємів тіл обертання
- Розрахунки роботи та енергії
| № | Функція | Інтеграл | Умови |
|---|---|---|---|
| 1 | xⁿ | (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C | n ≠ -1 |
| 2 | 1/x | ln|x| + C | x ≠ 0 |
| 3 | eˣ | eˣ + C | для всіх x |
| 4 | aˣ | (aˣ)/ln(a) + C | a > 0, a ≠ 1 |
| 5 | sin(x) | -cos(x) + C | для всіх x |
| 6 | cos(x) | sin(x) + C | для всіх x |
| 7 | tan(x) | -ln|cos(x)| + C | cos(x) ≠ 0 |
| 8 | cot(x) | ln|sin(x)| + C | sin(x) ≠ 0 |
| 9 | 1/cos²(x) | tan(x) + C | cos(x) ≠ 0 |
| 10 | 1/sin²(x) | -cot(x) + C | sin(x) ≠ 0 |
| 11 | 1/√(1-x²) | arcsin(x) + C | |x| < 1 |
| 12 | 1/(1+x²) | arctan(x) + C | для всіх x |
| 13 | sinh(x) | cosh(x) + C | для всіх x |
| 14 | cosh(x) | sinh(x) + C | для всіх x |
| 15 | 1/√(x²+a²) | ln|x+√(x²+a²)| + C | a ≠ 0 |
| 16 | 1/(x²-a²) | (1/2a)·ln|(x-a)/(x+a)| + C | a ≠ 0, x² ≠ a² |
| 17 | √(a²-x²) | (x·√(a²-x²))/2 + (a²/2)·arcsin(x/a) + C | |x| ≤ a |
| 18 | √(x²+a²) | (x·√(x²+a²))/2 + (a²/2)·ln|x+√(x²+a²)| + C | a ≠ 0 |
| 19 | ln(x) | x·ln(x) – x + C | x > 0 |
| 20 | x·eˣ | eˣ(x-1) + C | для всіх x |
